Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 189 



nonische 'Formen und bestimme die zugehörigen invarianten 

 Differentialgleichungen*). Darnach zeige ich, dass eine be- 

 liebige vorgelegte Gruppe im Allgemeinen ohne Integration 

 von Differentialgleichungen und jedenfalls durch Integration 

 einer Dififerentialgleichung 1. 0. auf ihre canonische Form 

 gebracht werden kann Hierdurch gelingt es alle bei einer 

 beliebig vorgelegten Gruppe invariante Dififerentialgleichungen 

 anzugeben **). 



Im zweiten Abschnitte dieser Arbeit, der im nächsten 

 Hefte dieser Zeitschrift erscheinen wird, wende ich meine 

 allgemeine längst publicirte Integrationstheorie von linearen 

 partiellen Differentialgleichungen mit bekannten infinitesi- 



*) Die Gesichtspunkte der citirten Note führen indess noch weiter. Man 

 kann u. A. jede Gruppe BerUhrunffstrsLnsformsitionen zwischen xpy' auf 

 gewissse von mir bestimmte canonische Formen bringen, und darnach 

 die zu jeder canonischen Form entsprechenden invarianten Gleichungen 

 angeben u. s. w. 



*) Als ich in 1874 in meiner mehrmals besprochenen Note hervorhob, 

 dass auf meine Bestimmung aller Gruppen von Transformationen der 

 Ebene eine Classification aller Gleichungen f{xyy'... yi'^) ) = mit 

 einer Gruppe gegründet werden kann, hatte ich diese Classification 

 noch nicht in Detail ausgeführt.' Ich hatte die Möglichkeit einer Clas- 

 sification, d. h. die Möglichkeit der Aufstellung von den Typen aller 

 Differentialgleichungen /= 0, die eine Gruppe gestatten, erkannt. Die 

 hierzu erforderlichen Rechnungen hatte ich aber nicht in Detail aus- 

 geführt, und noch weniger publicirt. Indem ich dies ausdrücklich 

 hervorhebe, bemerke ich dass der berühmte französische Geometer 

 Halphen in seinen ausgezeichneten Untersuchungen über Differential- 

 invarianten (Liouvilles Journal Bd. 2 (Serie 3) 1876, Sur les inva- 

 riants diff.. Thèse, Paris 1878 u. s. w.) im Grunde einen wichtigen 

 wenn auch sehr speciellen Theil meines Programms ausgeführt hat 

 (sieh § 1, Nummer 3 dieser Arbeit) allerdings mit schönen An- 

 wendungen, die mir theilweise ferner lagen. Halphen macht aufmerk- 

 sam auf die Beziehungen zwischen seinen Untersuchungen und Kleins 

 und meinen gemeinsamen frühere;i Untersuchungen über solche Curven, 

 die eine infinitesimale hneare Transformation gestatten. Dagegen 

 kannte er nicht meine andere viel weiter reichende Arbeiten insbe- 

 sondere nicht meine Note in Göttinger Nachr. wie auch nicht meine 

 in 1874 publicirte Theorie der Integration von linearen partiellen Dif- 

 ferentialgleichungen, die eine bekannte Grupppe von Transformationen 

 gestatten. 



