190 Sophus Lie. 



malen Transformationen auf gewöhnliche Differentialglei- 

 chungen /(,:r 2/ y' ... 3/'°*0 =0 mit einer bekannten Gruppe an. 

 Derartige Gleichungen können in zwei etwas verschiedenen 

 Weisen behandelt werden. Entweder kann man meine all- 

 gemeine Theorie direkt anwenden und muss dann successiv 

 eine Keihe vollständige Systeme aufstellen. Oder auch fängt 

 man damit an die vorgelegte Gruppe auf ihre canonische 

 Form zu bringen ; dadurch erhält ebenfalls / = eine cano- 

 nische Form; hierbei hat man nur gewöhnliche Differential- 

 gleichungen zwischen zwei Variabein zu behandeln. Die 

 Entwickelungen dieses Abschnittes sind grösstentheils nur 

 als Beispiele und Illustrationen zu meiner alten allgemeinen 

 Theorie zu betrachten. 



Im dritten Abschnitte denke ich mich eine ganz beliebige 

 Gleichung f{æyy'...) = vorgelegt und stelle die Frage, ob 

 dieselbe infinitesimale Transformationen gestattet. Ist dies 

 der Fall, so werden diese Transformationen bestimmt durch 

 gewisse lineare partielle Differentialgleichungen erster und 

 höherer Ordnung, deren Integration in den meisten Fällen 

 durch successive Quadraturen oder durch Integration einer 

 Riccatischen Gleichung 1. 0. geleistet werden kann. Es 

 giebt nur zwei Fälle, in denen die Bestimmung der infini- 

 tesimalen Transformationen von /=0 nicht in dieser ein- 

 fachen Weise geleistet werden kann. Wenn / = eine 

 Gruppe gestattet, als deren canonische Form die allgemeine 

 lineare Gruppe der Ebene gewählt werden kann, so verlangt 

 die Bestimmung dieser Gruppe im Allgemeinen die Integra- 

 tion einer linearen Gleichung dritter Ordnung. Gestattet an- 

 derseits / = eine Gruppe, als deren canonische Form die 

 Gruppe einer linearen Gleichung *) gewählt werden kann, so 



*) Besonders merkwürdig ist der Fall, dass die lineare Gleichung des 

 Textes in eine mit constanten Coefficienten sich umwandeln lässt. In 

 diesem Falle geschieht wiederum die Bestimmung der gesuchten inf. 



