Ueber DiiFerentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 191 



verlangt die Bestimmung unserer Gruppe die Integration 

 einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung. 



In weiteren Abschnitten gedenke ich einige verwandte 

 Theorien, die ich schon seit einiger Zeit in Detail ausgeführt 

 habe, zu entwickeln. Insbesondere werde ich meine Theorien 

 auf solche Gleichungen f(ccy... y™)) =» anwenden, in denen 

 die Grösse 3/(^—1) nicht vorkommt. Anderseits werde ich 

 alle Gruppen von Berührungstransformationen der Ebene in 

 canonischer Form betrachten, und ihre invariante Differential- 

 gleichungen aufstellen; hieran schliesst sich eine rationelle 

 Integrationstheorie solcher Gleichungen / = 0, die eine be- 

 liebige Gruppe von J^érw^rim^stransformationen gestatten. 



Abschnitt I. 



Classificaton von allen gewöhnlichen Differentialgleichungen 

 zwischen œy, die eine Gruppe von Transformationen zwi- 

 schen diesen Variabein gestatten. 



Bestimmen die Gleichungen 



a!i = f{æya^a^ ...ür) 

 Vi --Viosya^ «2 •••«1) 



zwischen den alten Variabein ooy, den neuen Variabein oo^y^ 

 und den Parametern a-^ a,^ . . . a^ eine (continuirliche) Gruppe 

 von Transformationen, so liefert eine Eelation der Form 



i2(/(p&3...&p)=0 



mit r + p Parametern a-^.. .a^h^ . . ,1^ eine Schaar und zwar 



Transformationen durch Quadratur; kann jedoch die besprochene lineare 

 Gleichung mit constantan Coefficienten die Form yi'^) = erhalten, so 

 ist die Integration einer Riccatischen Gleichung 1.- 0. erforderhch. 



