192 Sophus Lie. 



die allgemeinste Schaar Curven , deren Inbegriflf die vorge- 

 legte Gruppe gestattet. Dies folgt unmittelbar aus dem Be- 

 griffe Transformationsgruppe. Zu bemerken ist allerdings 

 dabei, dass die r + p Parameter «i, &k nicht sämmtlich we- 

 sentlich sein brauchen*). 



Wählt man die Funktion D. in bestimmter Weise, so 

 kann man durch wiederholte Differentiation hinsichtlich a; 

 soviele Gleichungen zwischen a; ?/, den Differentialquotienten 



2/ 



.(i) 





und den Parametern üi 6k bilden, dass es möglich wird, diese 

 Parameter wegzuschaffen. Hierdurch findet man in jedem 

 einzelnen Falle eine Differentialgleichung, die unsere Gruppe 

 gestattet. Und offenbar kann jede derartige Differential- 

 gleichung in dieser Weise gebildet werden. Diese Methode ist 

 indess nicht zweckmässig, indem sie keine Uebersicht über 

 die Gestalt und Eigenschaften der betreffenden Differential- 

 gleichungen uns liefert. Zweckmässiger ist es, wie ich seit 

 1874 bei allen meinen Untersuchungen über Transformations- 

 gruppen pflege, die infinitesimalen Transformationen der 

 Gruppe einzuführen, und vermöge ihrer die Bestimmung der 

 betreffenden Differentialgleichungen durchzuführen. 



Unsere Grnppe mit den r Parametern «k enthält nach 



'') Die r + p Paramemer sind wesentlicli, wenn eine beliebige Curve der 



5 chaar 



£l{xyhy . . .hß) =-0 



mit ß wesentlichen Parametern durch keine infinitesimale Transformation 

 der Gruppe in sich transfbrmirt wird und auch nicht in keine benach- 

 barte Curve dieser Sahaar übergeführt wird; anders ausgesprochen 

 wenn die Schaar Di{xy b^ . . .) =0 keine infinitesimale Transformation 

 der Gruppe gestattet. Gestattet dagegen die Schaar D,{_xyb^^...) = 



6 infinitesimale Transformationen der Gruppe, so sind unter den r + p 

 Parametern a^ . ..av b^. . .bp nur r + p — 6 wesentlich. 



