üeber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 195 



ist zum Bestehen der r Gleichungen (1) erforderlich, dass 

 die Determinante 



verschwindet. Dabei können wir vorläufig von dem Falle, 

 dass A identisch verschwindet, wegsehen, indem dies, wie 

 wir später zeigen, nur ganz ausnahmsweise eintritt. Daher 

 muss die Gleichung A =- vermöge /" = bestehen. Es ist 

 anderseits nicht schwierig zu beweisen, dass die Differen- 

 tialgleichung A = immer unsere Transformationsgruppe 

 gestattet. Für eine synthetische Auffassung ist dies un- 

 mittelbar evident*). Wünscht man einen analytischen Be- 

 weis, so bemerke ich, dass ich für den Fall m = 1 schon 

 einen solchen Beweis geliefert habe (Sieh Math. Ann. Bd. 

 XVI p. 475), dass ferner der Beweis für einen allgemeinen 

 Werth von m in ganz entsprechender Weise geführt wird. 

 Hierauf halte ich es nicht für nothwendig hier näher einzu- 

 gehen. Ich bemerke nur, dass man im Folgenden bei jeder An- 

 wendung des betreffenden Satzes seine Richtigkeit leicht 

 direkt verificirt. 



Lass uns sodann annehmen, dass m + 2 <; r ist. Dann 

 ist zum Bestehen der Gleichungen (1) erforderlich, dass alle 

 in der Matrix 



I ^i m v-^^ ^i'""^ I 



enthaltene Determinanten gleichzeitig verschwinden; und da 

 dieselben nicht identisch gleich Null sein können, indem A 

 nach unserer Voraussetzung nicht identisch verschwinden soll, 

 so müssen die soeben besprochenen Determinanten, die offen- 

 bar ganze Funktionen der Grössen y^^^i sind, einen gemein- 

 samen Faktor (A) enthalten; dabei ist klar, dass diese 



*) Ein Werthsystem x y y' ^/t'''^) genügt nämlich der Gleichung A = 



dann und nur dann^ wenn dasselbe nicht vermöge der Gruppe in jedes 

 benachbartes Werthsystem übergeführt werden kann. 



13* 



