196 Sophus Lie. 



Grösse (A) ebenfalls ein Faktor von A sein muss. Dies 

 giebt uns nun zunächst den Satz: 



Satz. Sucht man alle hei der vorgelegten Gruppe B^f . . . Btf 

 invariante Differentialgleichungen 



fiæyy' . . . 3/(™')=0 



deren Ordnungszahl m nicht grösser als r — 2 ist, so muss man 

 die Determinante 



— \ c^i r/i r/i ■ . . . r/i^ | 



bilden. Verschwindet dieselbe nicht identisch, so liefern ihre 

 Faktoren gleich Null gesetzt die gesuchten Differential- 

 gleichungen 



Als Corollar fliesst hieraus der Satz. 



Gestattet eine Differentialgleichung / = m^®"^ Ordnung 

 m + 2 oder noch mehrere infinitesimale Punkttransformationen, 

 so kann man ohne Beschränkung annehmen, dass f eine ganze 

 Funktion der Grössen yt'^ ist. 



Dieser Satz ist im Vorangehenden nur unter der Vor- 

 aussetzung erwiesen, dass die Determinante A nicht identisch 

 verschwindet. Dersel e ist indess allgemein gültig, wie wir 

 später nachweisen werden. 



Es bleibt übrig alle bei der Gruppe invariante Differen- 

 tialgleichungen fiæyy' . . . y^"'^) = 0, deren Ordnungszahl m 

 grösser als r - 2 ist, zu finden. Dabei schliessen wir wie 

 früher vorläufig den Ausnahmsfall A = aus. Unter dieser 

 Voraussetzung bil en die r Gleichungen (1) nach meinem 

 früher citirten Satze ein vollständiges System mit m + 2 — r 

 gemeinsamen Lösungen. Sei zunächst m -f 2 = r + 1, dann 

 giebt es eine Lösung qj.^ , die durch Integration gefunden 

 wird*). Dabei hängt q)-^ nur von æyy' . . . ^'"^^ ab. Sei 



*) Diese Integration kann immer geleistet werden, wenn die endliehen 

 Transformationen der Gruppe bekannt sind. 



