Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 197 



darnach m + 2 ■= /• + 2, dana giebt es zwei Lösungen, unter 

 denen cp-^ die eine ist'^ die zweite Lösung q)^ hängt von 

 æyy' . . y^"' ab. Ist m + 2 = r + 3, so giebt es drei Løs- 

 ungen q)^ (^2 ^iid «7)3, welche letzte von æyy' . . y^+^) ab- 

 hängt. Für einen beliebigen Werth von m giebt es 

 m — y + 2 Lösungen qj-^ cp^ . . . ç)m— 1+2« Es ist nun leicht 

 zu sehen, dass jedenfalls nur die beiden ersten q?^ nehmlich 

 q?^ und ^2 durch Integration bestimmt werden brauchen. 

 Kennt man q)^ und cp2, so findet man die übrigen qj^ fol- 

 gendermassen durch Differentiation. 

 Es ist die Gleichung 



mit den beiden arbiträren Constanten a und h eine invariante 

 Differentialgleichung r^^"^ Ordnung. Differentiirt man nun 

 hinsichtlich æ, so ist die hervorgehende Gleichung 



^ - a -^ = 

 dæ da; 



oder die aequivalente 



dæ _ _dq)^ 

 dq)^ dq)^ 



doß 



eine invariante Gleichung (r + 1)'" Ordnung mit einer arbi- 

 trären Constante. 



Also kann die Grösse 



daß ' dæ 

 als Grösse q)^ gewählt werden. Dementsprechend kann 



dq^ d.q)^ 

 dæ ' dæ 



als Grösse cp^ gewählt werden u. s w. Dieses Bildungsge- 



