198 Sophus Lie. 



setz zeigt, dass q)^ hinsichtlich y'"'"'"^', dass q)^ hinsichtlich 

 2^(r+2) linear ist u. s. w. 



Satz. Jede hei der Chruppe B^f... B^f invariante Dif- 

 ferentialgleichung^ deren Ordnung grösser als r — 2 ist, besitzt 

 die Form 



£licpj^(p^(Ps . . . ) = 0. 



Zuletzt nur noch einige weitere Bemerkungen über in- 

 variante Differentialgleichungen 



f{xy . . 2/(^))-=0, 



deren Ordnung p nicht r — 1 tibersteigt. Lass uns wiederum 

 annehmen, dass A nicht identisch verschwindet und sei Ai 

 ein Faktor von A, der von den Grössen x y y' . . . y^~'^~^ 

 abhängt. Dann enthält das Integral von Ai = ; — i — 2 

 arbiträre Constanten : 



(p{œya^ . . . ar_i_2) = 0, 



d. h. die Gleichung Ai = hat oz,""-^-- Integralcurven. Bei 

 den Transformationen der Gruppe werden diese Integralcur- 

 ven unter sich vertauscht, und zwar wird jede einzelne Inte- 

 gralcurve durch i + 2 unabhängige infinitesimale Transforma- 

 tionen der Gruppe in sich selbst transformirt. 



Ist insbesondere Aq ein Faktor*) von A, der die Grösse 

 y '■-2^ enthält, so ist Aq - eine invariante Differentialglei- 

 chung, unter deren Integralcurven jede zwei unabhängige 

 infinitesimale Transformationen der Gruppe gestattet. Ent- 



•) Die Form der Determinante A zeigt, dass Ao Mnsiclitlicà y(r— 2) 

 linear ist. 



