üeber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 199 



hält A kein Faktor A^, der 2/ '"~^' wirklich enthält, so heisst 

 dies, dass es keine Curve giebt, die zwei und nur zwei infi- 

 nitesimle Transformationen unserer Gruppe gestattet. 



Betrachten wir endlich die invariante Differentialglei- 

 chung (r — 1)'" Ordnung. 



deren arbiträre Constante a^ einen bestimmten Werth erhal- 

 ten hat. Diese Differentialgleichung hat oc'^- ^ Integralcurven, 

 die durch die r unabhängigen infinitesimalen Transformationen 

 der Gruppe unter sich vertauscht werden. Also schliessen 

 wir, dass jede Integralcurve durch eine und nur eine infini- 

 tesimale Transformation der Gruppe in sich transformirt 

 wird. 



In den drei ersten Paragraphen dieses Abschnittes be- 

 trachten wir successiv alle Gruppen von Punkttransformationen 

 der Ebene, indem wir sie auf die von mir bestimmten ca- 

 nonischen Formen gebracht voraussetzen. Für jede solche 

 canonische Gruppe bestimmen wir die zugehörigen invarian- 

 ten Differentialgleichungen. In dem letzten Paragraphen 

 zeigen wir, wie eine beliebige vorgelegte Gruppe auf ihre 

 canonische Form gebracht wird. 



Gruppen, die keine Differentialgleichung 1. 0. 

 invariant lassen. 



In meiner Aufzahlung aller Gruppen von Punkttransfor- 

 mationen einer Ebene (Göttinger Nachr. 1874, Math. Ann. 

 Bd. XVI) theilte ich alle derartigen Gruppen in gewisse 

 Hauptclassen jenachdem die betreffende Gruppe eine, keine 



