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Sophus Lie. 



oder mehrere Differentialgleichungen erster Ordnung inva- 

 riant lässt. 



In diesem Paragraphen betrachte ich jede Gruppe, die 

 keine Differentialgleichung erster Ordnung invariant lässt^ 

 und bestimme alle zugehörigen invarianten Differentialglei- 

 chungen höherer Ordnung, unter denen sich immer eine von 

 zweiter Ordnung findet (welche durch passenden Coordinaten- 

 wahl die lineare Form y" = erhalten kann). 



Die betreffende Gruppe enthält entweder acht, sechs 

 oder fünf Parameter. Sie ist aehnlich mit der allgemeinen 

 projectivischen Gruppe der Ebene, oder mit einer Unter- 

 gruppe derselben, die sechs oder fünf Parameter enthält. 

 Wir denken uns im Folgenden unsere Gruppen auf die soe- 

 ben genannten canonischen Formen gebracht. 



1. Jede fünfgliedrige Gruppe, die keine Differential- 

 gleichung erster Ordnung invariant lässt, kann auf die cano- 

 nische Form*) 



p, q, œq, æp - yq, yp 



*) Statt — und -/• schreibe ich, wie ich pflege, p und q. So z, B. 

 ' dx dy 



schreibe ich xp — yq statt x^ — y -~ um die infinitesimale Trans- 



dx dy 



formation 



zu bezeichnen. 



8 X "^ X 8 1, 8 y 



St 



