206 Sophus Lie. 



sodass A nicht identisch gleich Null ist. Es giebt zwei in- 

 variante Differentialgleichungen, deren Ordnung kleiner als 

 7 ist*) nehmlich 3/2=0 und 



(2) Ö^g'^ö - 45^/2 2/3^4 + 402/3^ = 0. 



um jetzt die Grössen ^, und ø^ '^^ berechnen müssen 

 wir nach unseren gewöhnlichen Regeln acht lineare partielle 

 Differentialgleichungen in den Variabein æ y y^ . . . y^ 

 (den acht infinitesimalen Transformationen p, q, xq, yq æp, 

 CG^p + ccyip^ yp, æyp + y^q entsprechend) bilden. Die drei ersten 

 unter diesen Gleichungen 



^•^ dec ^ ^•' dy ^'' dy dy-^ 



sagen nur, dass ^^ und ^2 von æ y und y^ unabhängig 

 sind» Diejenige Gleichung, die der inf. Transformation 

 £oyp + y^q entspricht, brauchen wir nicht zu bilden; sie ist 

 nehmlich wegen der Relation 



{yp, x^p + æyq) = ooyp + y'^q 



eine Consequenz der übrigen. Die Grössen <?>i ^^ sind daher 

 bestimmt als Funktionen von y^y^, - • ' 11% durch die Glei- 

 chungen 



•) Das Resultat des Textes war a priori evident. Denn es giebt ja nur 

 zwei Curven, die gerade Linie und der Kegelschnitt, die mehr als eine 

 infinitesimale und lineare Transformation in sich gestatten. Halphen 

 hat zuerst die obenstehende Differentialgleichung (2) der Kegelschnitte 

 wirklich aufgestellt. Ebenfalls hat Halphen zuerst die später anfge- 

 stellten Grössen ^i und $2 berechnet. 



