Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 213. 



Ist m > 1, so ergiebt sich, dass / eine arbiträre Funktion 

 der Grössen 



' Vi Vi' '' Vi 



ist. Wenn dagegen m = 1 ist, so können die beiden Glei- 

 chungen 



dij ' '^^ dy '^^^dy^ 



nur dann gleichzeitig bestehen, wenn ^j =0 ist; es ist nehm- 

 lich an sich unmöglich, dass / nur x enthält. Zu den hier- 

 mit gefundenen invarianten Differentialgleichungen muss die 

 Gleichung 



y\ 



gefügt werden. Dieselbe entgeht uns bei unserem Coordina- 

 tenwahl. Dieselbe Bemerkung, ist bei allen Gruppen dieser 

 Paragraphen zu machen. 



5. Die zu der Gruppe i), g, yq gehörige Determinante 



1 

 A = 1 



^ y Vx 



verschwindet nicht identisch. Sie liefert die invariante Dif- 

 ferentialgleichung erster Ordnung y^ = 0, wozu wie soeben 



die Gleichung — = zu fügen ist. 

 Vx 



Die invarianten Differentialgleichungen /=0, deren Ord- 

 nung grösser als 1 ist, werden bestimmt durch die Rela- 

 tionen 



df ' df . df df df „ 



-/ = 0, -/- = 0, y^ + yi -T^ + . .. +yra -T^ = 

 dæ 'dy dy ^^ dy^ dy^^ 



