'üeber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 229 



1 



X^ X{ X^^') 



A = 



= 2> 



Xy X,' Xr^' 



y Vi yr 



verschwindet nicht identisch. Es giebt ausser — = eine 



und nur eine invariante Differentialgleichung, deren Ordnung 

 nicht r übersteigt, nämlich 



D =-- 0/). 



Die Grössen q)-^ (P2 • • - sind Funktionen von æ, D, D^. . . ^ 

 bestinamt durch die Gleichungen 



^ = = ^ + --^ -^ + J^ 4?! + 

 doo dx dD dx dD^ dx 



^ dy ^'dy^ -^ dy^. 



Nun ist, da die JTk durch Kelationen der Form 



X-^ = Akl X^ + Àk2j-Ï'2 + • ■ • • ■•" Akk-^k 



verknüpft sind: 

 dBi 



dx 



= 2>i (Aj j + . . . + Xyr) = Dih 



woraus 



Di = e^^ {CiQlJ + Cii?/i + . . . + Ci,r-1 yv-\ + Ci.r+i^r+i) 



Hieraus ergiebt sich, dass wir 



I 



*) Ist r = 1, SO giebt es zwei invariante Gleichungen 1. 0.: — =0 und 



Vi 



D = 0. Diesen Fall schliessen wir im Texte aus. 



