üeber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 237 



§ 5. 



Reduction einer beliebigen Gruppe auf ihre 



canonische Form. 



Wenn eine beliebige Gruppe von Transformationen zwi- 

 schen æ und y vorgelegt ist, so lässt sich immer, werden wir 

 zeigen, durch ausführbare Operationen entscheiden, auf 

 welche canonische Form sie gebracht werden kann. Ist diese 

 Bestimmung geleistet, so verlangt die Reduction der vorge- 

 legten Gruppe auf ihre canonische Form in den meisten Fäl- 

 len nur ausführbare Operationen; ausnahmweise wird jedoch 

 die Integration eicer Gleichung 1. 0. nothwendig. 



Hieraus folgt, dass die Bestimmung der zu einer heliebi- 

 gen Gruppe gehörigen invarianten Differentialgleichungen im 

 ungünstigsten Falle die Integration einer Gleichung 1. 0. 

 verlangt. 



26. Wir zeigen^in dieser Nummer, wie man durch aus- 

 führbare Operationen entscheidet, auf welche canonische Form 

 eine vorgelegte Gruppe gebracht werden kann. 



Man bestimmt zuerst durch Determinantenbildung, ob es 

 keine, eine, zwei oder unendlich viele invariante Differential- 

 gleichungen 1. 0. giebt 



Existirt keine solche Gleichung 1. 0., so hat die Gruppe 

 5, 6 oder acht unabhängige infinitesimale Transformationen. 

 In jedem unter diesen drei Fällen giebt es nur eine ent- 

 sprechende canonische Form so dass eine weitere Discussion 

 überflüssig wird. 



Giebt es zwei und nur zwei invariante Gleichungen 1. 0., 

 so fragt es sich zunächst, ob A identisch verschwindet oder 

 nicht. Verschwindet A nicht identisch, so hat die Gruppe 

 3, 4, 5 oder 6 unabhängige infinitesimale Transformationen, 

 und dabei ist die canonisehe Form vollständig bestimmt 

 wenn die Zahl der inf. Transformationen gleich 5 oder 6 



