238 Sophus Lie. 



ist. Enthält unsere Gruppe drei infinitesimale Transforma- 

 tionen B^f B^f Bq/, so kann sie entweder die canonische 

 Form p, q, ocp + cyq oder die canonische Form p + q^ æp + yq^ 

 œ'^p ■>- ifq erhalten. Diese beiden Fälle lassen sich dadurch 

 charakterisiren, dass die inf. Transformationen {Bi B^) in 

 ersten Falle eine zweigliedrige Untergruppe bestimmen, wäh- 

 rend sie im letzten Falle eine dreigliedrige Gruppe, nämlich 

 die ursprüngliche Gruppe liefern. Enthält unsere Gruppe 

 vier infinitesimale Transformationen, so kann sie entweder 

 die canonische Form q yq p æp oder die Form q yq y'^q p 

 erhalten ; diese Fälle lassen sie dadurch charakterisiren, dass 

 die (^i^k) im ersten Falle eine zweigliedrige Untergruppe 

 im zweiten eine dreigliedrige Untergruppe liefern. Ver- 

 schwindet A identisch, so kann die Gruppe entweder auf 

 die canonische Form q, yq, oder auf die canonische Form 

 q, yq, y^q gebracht werden. Die Zahl der unabhängigen 

 infinitesimalen Transformationen entscheidet, welcher Fall 

 vorliegt. 



Jetzt setzen wir voraus, dass eine vorgelegte Gruppe 

 B^f . . . Bsf eine und nur eine Gleichung erster Ordnung 



dx dy 



invariant lässt. Unter den infinitesimalen Transformationen 

 k-^B^ + ... -hksBs giebt es einige etwa B^^^^f, die eine Rela- 

 tion der Form 



B^^')f-cp^{xy)Af 



erfüllen ; es giebt ja nämlich jedenfalls r — 3 inf. Transfor- 

 mationen, die jede Integralcurve vonJ./=0 invariant lassen. 

 Wir haben also 4 wesenllich verschiedene Möglichkeiten zu 

 berücksichtigen. Befriedigt eine jede inf. Transformation 

 B\^f eine Relation der Form 



J?k/ « ç'k {ocy) Af, 



