üeber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 239 



SO kann die Gruppe entweder auf die canonische Form 

 X-^q . . . Xyq oder auf die Form Xs^q . . . X^q yq gebracht 

 werden. Das erste tritt ein, wenn alle {Bi B^) = sind. Die 

 zweite Hypothese findet statt wenn die {Bi B^) nicht sämmt- 

 lich verschwinden, b) Giebt es unter den s Ausdrücken Bif 

 s-1 etwa B^^f. . . -Bs-iV» ^^^ ^i^e Relation 



B^^o)f^cp4æij)Af 



erfüllen, so bilden die s-1 Transformationen By^^^^f eine 

 Untergruppe, die der Catégorie (a) angehört. Verschwinden 

 alle (5i^°) -Bk'^O? so hat die Gruppe 2?k/ die canonische Form 

 X-^q . . . Xrq p + syq, wo s ohne Beschränkung gleich Null 

 gesetzt werden kann. Verschwinden die {B-^^^i B^^^'>) nicht 

 sämmtlich, so ist X-j^q . , . X^q yq p die gesuchte canonische 

 Form, c) Giebt es s -2 Ausdrücke B-^-^^f, die eine Relation 



• B^^')f^(p, A f 



erfüllen, so bilden die Transformationen (^i B^) eine Unter- 

 gruppe, die der Catégorie (b) gehört. Eine zweite Untergruppe 

 bilden alle jBkC)/ Verschwinden die (-Bi(o> ^k^«)) nicht sämmt- 

 lich, so hat die Gruppe die canonische Form q æq... i»'~ig yq p ocp. 

 Verschwinden dagegen alle {B\^ B^^), so kann die Gruppe 

 entweder die Form q œq . . . æ''-'^ p æp + Kyq oder die Form 

 q æ(\ , . , af~'^q p æp + {ry + æ'')q erhalten. Um zwischen 

 diesen beiden Möglichkeiten zu scheiden, bildet man die De- 

 terminante A. Ist A ein nicht identisch verschwindender 

 Differentialausdruck (s-2)*®'^ Ordnung, so hat unsere Gruppe 

 die canonische Form 



q œq. . . af~'^q p æp + Kyq 



Verschwindet A identisch, so hat die Gruppe ebenfalls die 

 soeben geschriebene Form, nur mit dem Unterschiede, dass 



