240 Sophus Lie. 



K = r ist. Wenn endlich A eine nicht identisch verschwin- 

 dende Funktion von æ und y ist, so kann unsere Gruppe die 

 cauonische Form 



ç[ æq . . . ûs^~'^q p æp + {ry + x^) q 



erhalten, d) Giebt es s ~ 3 infinitesimale Transformationen 

 B\é^\ so sind vier verschiedene Fälle möglich. Ist 5 = 3, 

 so kann die Gruppe die canonische Form 



p xp + yq x^p + 2xyq 

 erhalten. Ist s = 4, so ist 



yq p xp x'^p + xyq 



die gesuchte canonische Form. Ist s > 4 und sind dabei 



(5iWSkW) = 0, so ist , 



q xq. . . x^'~'^q p, 2xp + (r - 1) yq, x^p + (r -1) xyq 



die gesuchte canonische Form- Sind dagegen die (Bi^^^ B^'-'^^) 

 nicht sämmtlich Null, so kann unsere Gruppe die canonische 

 Form 



q xq . . . x^~^q, yq, p, xp, x^p -^ (r - 1) xyq 

 erhalten. 



Wenn endlich eine vorgelegte Gruppe unendlich viele 

 Gleichungen erster Ordnung invariant lässt, so kann sie auf 

 eine unter den drei Formen 



q; q, p + cyq; p q xp + yq 



gebracht werden. Die Anzahl der unabhängigen inf. Trans- 

 formationen entscheidet, welcher Fall vorliegt. 



Also ist es uns wirklich gelungen durch sehr einfache, im- 

 mer ausführbare Rechnungen zu entscheiden, welche cano- 

 nische Form eine vorgelegte Gruppe besitzt. 



