üeber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 241 



27. Hat man nach den soeben entwickelten Regeln die 

 zu einer beliebig vorgelegten Gruppe gehörige canonische 

 Form bestimmt, so stellt sich die Frage, wie die Ueberftih- 

 rung auf diese Form wirklich geleistet wird. Ich gebe eine 

 ktirzgefasste Erledigung dieser Frage. 



Lass uns zunächst ein einfaches Beispiel betrachten. 

 Sei B^f. . . B^^f die vorgelegte Gruppe und p^, q^, æ^p^^ y^q^ 

 ihre canonische Form. Bilde ich dann die (J5i 5k) so erhalte 

 ich eine zweigliedrige Untergruppe, die überdies in der.vier- 

 gliedrigen invariant ist. Sei B^ B,^ diese Untergruppe. Ich 

 bilde die Gleichungen 



(c^Bj^+c^B^, Bs)''k^iCiBi+c,B^) 

 (Ci B^ +c^B2, B^) = ^2 (^1 -ï^i + <^2 ^2) 

 in denen c^ c^k^ k^ Constante bezeichnen sollen. Das Ver- 



yt 



hältniss -^ wird bestimmt durch eine quadratische Gleichung, 



deren Wurzeln ich ohne Beschränkung gleich und 00 setzen 

 kann. Alsdann sind B^ und B^ die beiden einzigen invari- 

 anten Transformationen unserer Gruppe ; sie entsprechen daher 

 Pi und q^. Darnach wähle ieh Bq und B^^ so, dass die fol- 

 genden Relationen bestehen 



iB^B,)^B„(B,B-,) = 0,(B,:d^)=B„(B,B,)=^0,{B,B,)^0. 



Setze ich sodann • 



B^^S^p + tf^q = Pi, B^^-B^ + Tj^q-^-q^ 



so finde ich ' . 



*»1 Vi Ö2 V2 



Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B. 16 



