lieber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 247 



durch Quadratur gentigen. Nur wenn die canonische Form 

 die eine unter den drei folgenden ist 



îi; îi yi^i) ai Vi^x yi\i 



ist die Integration einer Differentialgleichung 1. 0. noth- 

 wendig. 



Wenn eine beliebige Gruppe von Transformationen zwi- 

 schen œ und y vorgelegt ist, so entscheidet man zuerst durch 

 Differentiation auf welche canonische Form sie gebracht werden 

 kann. Ist dies geschehen, so verlangt die Reduction auf diese 

 /kanonische Form im Allgemeinen nur ausführbare Operationen. 

 Nur wenn die betreffende Form eine unter den folgenden ist, 



Q', Q, m'i a^ 2/?> yh 



wird die Integration einer Gleichung 1. 0. nothwendig. 



28. Sucht . man alle bei einer beliebig vorgelegten 

 Gruppe zwischen œ und y invarianten Differentialgleichun- 

 gen, so bringt man die Gruppe zuerst auf ihre canonische 

 Form und stellt sodann ohne weiter die betreffenden Differen- 

 tialgleichungen auf. 



Dies giebt den folgenden Satz, der die wichtigsten Er- 

 gebnisse dieser Abhandlung resumirt. 



Ist eine ganz beliebige continuirliche Gruppe von Trans- 

 formationen zwischen æ und y vorgelegt, so findet man alle 

 invarianten Differentialgleichungen ohne Integration von Diffe- 

 rentialgleichungen, wenn die Gruppe mehr als drei infinitesi- 

 male Transformationen enthält. Giebt es drei inf Transfor- 

 mationen mit der canonischen Form q yq y^q oder zwei inf. 

 Transformationen mit der canonischen Form q yq oder end- 

 lich nur eine inf Transformation, so wird die Integration 

 einer Gleichung 1. O. nothwendig. In allen anderen Fällen 

 genügen Differentiation und Quadraturen. 



