250 Sophus Lie. 



§ 1. . ' 



Integrationstheorie von Differentialgleichungen mit be- 

 kannten infinitesimalen Transformationen der Form 



X(x)p-^Y(y)q. 



In diesem Paragraphen integrire ich succsessiv alle Differen- 

 tialgleichungen 2*^"^ und höherer Ordnung mit einer bekann- 

 ten Gruppe, deren infinitesimale Transformationen sämmtlich 

 die Form X{æ) p + T{y) q besitzen. Es wird dabei voraus- 

 gesetzt, dass die ''> etreffende Gruppe keine andere Differen- 

 tialgleichungen 1. 0. als y = und — ; (- invariant lässt. 



1. Gestattet eine Differentialgleichung m^" Ordnung die 



Gruppe q, yq so ist sie, wenn wir — = w setzen reductibel auf 



Vi 

 die Form 



/ du d^-'^u \ 



Man integrirt diese Gleichung (m-2)*^'' Ordnung und erhält 

 hierdurch eine Relation mit m -2 Constanten 



aus der durch wiederholte Integration 



hervorgeht. 



2. Gestattet eine Differentialgleichung m^"' Ordnung 

 die Gruppe p, q, yq, so ist sie, wenn wir 



3/1 Vi 



