üeber Differentialgleichungen^ die eine Gruppe gestatten. 257 



5. Gestattet eine Differentialgleichung m*®' Ordnung die 

 Gruppe p + q, æp + yq, x^p + «/^^, so ist sie, wenn wir 



<Px - G'»-«/)2/2?/r-+%i' +2/i'') 

 setzen, reductibel aut die Form 



^{-.-^••■^^)=o- 



Wir integriren diese Differentialgleichung (m - 3)*^'" Ordnung 

 und erhalten hierdurch eine Relation mit m - 3 Constanten 



Enthält dieselbe nicht die Grösse (p^, so integrirt man die 

 betreffende Gleichung q?^ = Const., indem man nur die infi- 

 nitesimalen Transformationen p + q und æp + yq berücksich- 

 tigt. Dagegen ist es unmöglich eine Gleichung der Form 



allgemein zu integriren; während man sie allerdings auf 

 eine Biccatische Gleichung erster Ordnung reduciren kann. 

 Dies soll jetzt gezeigt werden. 



Als Variabein wählen wir die Grössen y^ und q)-^. Es 

 ist wie eine einfache Rechnung zeigt: 



oder wenn wir l/y^ = setzen 



„ dz zq)^ - 2z^-2 



Ist ^{y-^q}^) = Const, eine Integralgleichung der soeben ge- 

 fundenen Riccatischen Gleichung, so findet man die beiden 



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