258 Sophus Lie. 



fehlenden Integralgleichungen von cp^ = F{q){), durch Differen- 

 tiation. Setzen wir nehmlich 



80 ist nach mir 



5(^) = Const, und B{B{^)) = Const, 

 ebenfalls Integralgleichungen von q)^<= F{q}^), und es genügt 

 daher nachzuweisen, dass die drei Grössen ø, B^ und B(B{ø)) 

 unabhängige Funktionen von od y y^ und y^ sind. Es ist, 

 da Bq)-^ verschwindet: 



und also sind die Grössen <?, B0 und B{B{^)) unabhängig 

 hinsichtlich x y y^ und (p^ womit der Nachweis geführt ist*). 



6. Gestattet eine Differentialgleichung m^^^ Ordnung die 

 Gruppe 3, yg, y\ so ist sie reductibel auf die Form 



„ , dw d'"'^w\ ^ 



11 \æ w -j- . . . 5 = 



da; dx""'^] 



*) Die Entwickelungen des Textes liefern das einfachste Beispiel zu einem 

 allgemeinen Theoreme in meiner Theorie der Transformationsgruppen. 

 Gesetzt in der That, dass ein vollständiges System ^i/=0. .Arf=0 

 in den Variabein x^ . . .. xn n - r inf. |Transformationen £,/ .. Bn-tt 

 gestattet, und dass es nicht gelingt ein Integral durch Differentiation 

 zu bilden. Dann kann man ohne Beschränkung annehmen, dass die 

 Bi f eine Gruppe bilden. Sei diese (iruppe nicht zusammengesetzt, und 

 sei B^f ,... Bßf eine Untergruppe mit der grösstmöglichen Zahl Pa- 

 rameter. Dann bildet man das vollständige System ^^ / «= . . . Arf=0, 

 J5i /= . . . Bpf= 0, Gelingt es dasselbe zu integriren, so findet man 

 immer die fehlenden Lösungen des Systems Aif=0 durch Differentia- 

 tion. In dieser Arbeit setze ich diesen Satz, den ich im üebrigen 

 früher in viel allgemeinerer Form aufgestellt habe, nicht als bekannt 

 voraus. 



