264 Sophus Lie. 



Hiermit ist die Gleichung sechster Ordnung cPi^fi'Pi) 

 vermöge swei Riccatische Gleichungen 1. 0. integrirt. Dabei 

 ist indess zu bemerken, dass wir erst nach der Integration 

 der ersten Hülfsgieichung (6) die zweite Hülfsgieichung 1. 0. 

 aufstellen könnte. Es ist aber nicht schwierig einzusehen, 

 dass man die Integration von q)^ =/(f?'i) auf die Integration 

 zweier von einandern unahhänffigenBiccatischen Gleichungen 1. 0. 

 zurückführen kann. Man bemerke in der That nur, dass die 

 beiden Gruppen q yq ifq und p ccp ar'p vollständig gleich- 

 berechtigt sind. Vertauscht man daher im Vorangehenden 

 die Grössen æ und y, so erhält man eine mit (6) analoge 

 Riccatische Gleichung deren Integration ebenfalls drei Inte- 

 gralgleichungen 



Wi = Const., CW-^ = Const., CCW, = Const. 



von (P2=f(tpi) liefert. Dabei ist es einleuchtend, dass diese 

 drei neue Integralgleichungen von den drei früheren (7) un- 

 abhängig sind. Und also ist wirklich die Gleichung sechster 

 Ordnung <P2 '=/(<Pi) ^^^ ^wei unabhängige Riccatische Glei- 

 chungen 1. 0. zurückgeführt. 



§ 2. 



Integration von Differentialgleichungen mit bekannten 

 infinitesimalen Transformationen der Form 



In diesem Paragraphen entwickeln wir die Integrations- 

 theorie von allen Differentialgleichungen von zweiter und 

 höherer Ordnung mit einer bekannten Gruppe, deren sämmt- 

 liche infinitesimale Transformationen die Form JC(æ)p + ri{a;y)q 

 besitzen. Dabei wird ausdrücklich vorausgesetzt, dass die 



