üeber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 269 



grirt werden kann, indem das allgemeine Integral von D = 

 bekannt und gleich 2 Ci Xi ist. 



Ist die vorgelegte Gleichung m*^'' Ordnung linear, so ist 

 auch £1^0 linear. Der bekannte Satz, dass eine lineare 

 Gleichung m*^"^ Ordnung mit r bekannten Particularintegralen 

 sich auf eine lineare Gleichung (m - r)*®"^ Ordnung reduciren 

 lässt, ist somit ein sehr specieller Fall unserer soeben ent- 

 wickelten Theorie. 



Auch die oben besprochene Reduction der Gleichung 

 B •= F{oß) auf die einfachere Gleichung Z> = fliesst als sehr 

 specielles Corollar aus meinen alten Integrationstheorien. Ich 

 werde diesen Zusammenhang in zwei etwas verschiedenen 

 Weisen begründen. Sei die Gleichung D = F{cc) auf die 

 Form 



yr- V 



oder die aequivalente Form 



dæ dy '" dy^-i 



gebracht. Diese lineare partielle Differentialgleichung ge- 

 stattet r bekannte infinitesimale Transformationen: 



dtj dy^ dyr-i 



{i = l, 2... r) 



die paarweise in der Beziehung 



stehen. Also bilden die Gleichungen 



^/=0 BJ=0 B^.^f-0 5k+i/=0 . . J5r/-0 



ein vollständiges System mit der bekannten infinitesimalen 

 Transformation ßk/ ; und daher findet man die entsprechende 

 Lösung TFk durch Quadratur. In dieser Weise findet man 



