276 Sophus Lie. 



y^- yr+2 ^ yr^Vr^Z 



y +1 2/r+l 



Durch Integration der Gleichung {m- r- S)*^"" Ordnung ß -» 

 erhält man eine Relation q)^ =fi(Pi), das heisst eine Differen- 

 tialgleichung 2. 0. in 2/r und «/r+i: 



J/,+r (£yp «/r^ -^Kyr^l^J dyA^'^' dyr y 



mit zwei bekannten infinitesimalen Transformationen 



yr-~ und 2/r+i 



Hier führen wir 



7? = l0g2/r+l, a = l0g3/r 



als neue Variabein ein, dann wird 



3/r yr+2 ^ _ ^^ o^ dri 



sodass die Gleichung cp^ ^f{<Pi) die Form annimmt: 



cZ^^ \äB,J 



Daher geben zwei Quadraturen ri als Funktion von B,, das 

 heisst 2/,+i als Funktion von 3/,- Eine neue Quadratur giebt 

 3/r als Funktion von oc^ wonach y durch r Quadraturen als 

 Funktion von x bestimmt wird. 



20. Gestattet eine Differentialgleichung m*®'" Ordnung 

 die Gruppe 



q xq . . . oo^'^q p 2æp + {r - \)yq x^p + (r - 1) xyq 



so ist sie, wenn wir von der unmittelbar integrablen Glei- 

 chung ?/r = wegsehen, reductibel auf die Form 



