280 Sophus Lie 



§ 3. 



Integration von Differentialgleichungen mit bekannten 

 infinitesimalen Transformationen der Form 



X(xy)p-k- Y(xy)q, 



In diesem Paragraphen integrire ich alle Differentialglei- 

 chungen mit einer bekannten fünfgliedrigen, sechsgliedrigen 

 oder achtgliedrigen Gruppe; dabei wird ausdrücklich voraus- 

 gesetzt dass die betreffende Gruppe keine Curvenschaar 

 tp{xij)=a invariant lässt und dass sie daher in Ueberein- 

 stimmung mit meinen alten Untersuchungen auf die Form 

 einer linearen Gruppe gebracht worden ist. Ich sehe weg 

 von den unmittelbar integrablen Gleichungen 



2/2 =0, 53/3^- 3^/2^4=0, 



91/V5 - 45^/22/32/4 + 402/3' = 0, 



unter denen die erste alle gerade Linien, die zweite alle Pa- 

 rabeln, die dritte alle Kegelschnitte der Ebene x y bestimmt. 



22. Gestattet eine Differentialgleichung, deren Ordnungs- 

 zal m grösser als 2 ist, die Gruppe 



p q ooq ccp - yq yp 



80 besitzt sie die Form 



P2 = 3^22/4-52/3', P3= 3^/2^2/5 - 152/22/32/4 + ^^2/3'- 



WO 



und 



Man integrirt die Gleichung (m - 5)*^"^ Ordnung £1 = und 

 erhält hierdurch eine Relation 



<P2'FiVi) 



