282 Sophus Lie. 



drei unabhängige Integralgleichungen von qj^^Fiq)-^) dar- 

 stellen. Eliminirt man zwischen ihnen die Grössen y^, y^ mià^y^, 

 so erhält man eine Differentialgleichung zwischen y^ und y^, 

 die durch zwei Quadraturen erledigt wird. 



23. Gestattet eine Differentialgleichung m"^«"" Ordnung 

 {m r> 4) die Gruppe 



p q æq m xp yp 



so besitzt sie die Form 



wo 



und 



<Pl=P2"2P3> 9'i =P2"V4 



P2 =3^2 3/4-5^3^ 



Ps-^y2^y^ - 152/2^32/4 + ïï°3/3^ 



P4 = 33/2^3/6 -2l2/2>3 S/5 + 35 2/2^3 V4-¥ ^3*- 



Wir integriren zuerst die Gleichung (m - 6)'" Ordnung £1 = 0, 

 und erhalten hierdurch eine Relation mit m - 6 Constanten*) 



<P2 = ^i^i) oder y^ = W(y^ ... y^) 



die selbst eine Differentialgleichung sechster Ordnung dar- 

 stellt. Wir reduciren dieselbe durch Quadratur auf eine 

 Gleichung fünfter Ordnung, die nach den Regeln der letzten 

 Nummer vermöge einer Riccatischen Gleichung 1. 0. erledigt 

 werden kann. 



Die bekannte sechsgliedrige Gruppe enthält nämlich die 

 invariante fünfgliedrige Untergruppe 



p q æq æp-yq yp 



*) Wir betrachten nicht im Texte die unmittelbar integrable Gleichung 

 <p, =- Const. 



