Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatte». 285 



meinen Integrationstheorien auf eine Gleichung zweiter Ord- 

 nung*) reduciren werden. Da nämlich die allgemeine acht- 

 gliedrige lineare Gruppe sechsgliedrige Untergruppen (dage- 

 gen keine siebengliedrige Untergruppe) enthält, so ist 

 es nach mir möglich zwei*) Integralgleichungen von 

 <l^2 = ^(^i) durch Integration einer Gleichung zweiter Ord- 

 nung herzuleiten. Aus diesen beiden Integralen findet man 

 dann nach meinen allgemeinen Regeln neue durch Differen- 

 tiation, und zwar findet man in dieser Weise alle, da die 

 achtgliedrige Gruppe keine invariante Untergruppe enthält. 



Um die Rechnungen in einfachster Weise durchzuführen, 

 ist es zweckmässig neue Variabein einzuführen und zwar ^^ 

 und die Grössen 



(wir brauchen wie schon gesagt die Bezeichnungen der Num- 

 mer 3 meiner ersten Abhandlung). Wir berechnen die Dif- 

 ferentialquotienten vo A B und ^^ hinsichtlich x und finden 

 darnach durch Division die Differentialquotienten von A und 

 B hinsichtlich ^^. Zur Ausführung dieser Rechnung bestim- 

 men wir zuerst die nachstehenden Werthe der Differential- 

 quotienten hinsichtlich x von den Grössen p^: 



y^Ps'' Pa-ÎPoJ + àyQP^, 



«/2P4' = iP5 -fp2P3 + ¥2/3P4? 



2/2 Ps' = iPe - ¥ P2 Pà + ¥ Ps Ps • 

 Folglich wird 



*) Nach einer neueren Bemerkung von mir, die ich der Gesellschaft der 

 Wissenschaften in Christiania in Septb. 1882 mittheilte, genügt es sogar 

 ein Integral dieser Gleichung 2. 0. aufzufinden. 



