üeber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 287 



Setzt man endlich 



«=^, ß =^ 



d¥^ "" 4«^2 -210 

 so erhält unser simultanes System die lineare Form 



åæ-^ dæ^ _ dæ^ d^^ 



^iÆ?3 + Æ?2 '^ 2^iÆ?i - 6/:»3 ~ 2æ7i ~ 4(^2-210 



und kann daher, wenn man es vorzieht, durch eine aequiva- 

 lente lineare Differentialgleichung 3. 0. ersetzt werden. 



Kennt man die Lösungen W^ W^ des Systems (L), so 

 ist nach meinem früher citirten Satze die Integration von 

 #2 = -^(^i) als geleistet zu betrachten. Dies sieht man auch 

 so ein: Die Gleichungen W^= a, W^^h mit zwei bestimm- 

 ten Constanten geben co^ Integralcurven, deren Inbegriff alle 

 lineare Transformationen gestattet, bei denen die unendlich 

 entfernte Gerade ihre Lage behält. Man führe jetzt durch 

 eine lineare Transformation diese Gerade in eine neue Lage 

 gi ül)er. Gleichzeitig erhalten W-^ und TTg die Werthe 

 1^1 ''* TF^^*). Wählt man nu vier Gerade g-^ g^ g^ ^4, so be- 

 stimmen die acht Gleichungen 



pr,W = ai, TF^^'^^^i (i=l 2 3 4) 



mit acht bestimmtenn Constanten eine Schaar von Integral- 

 curven, deren Inbegriff alle lineare Transformationen gestat- 

 tet, bei denen g^ g^ g^ g^ invariant bleiben. Haben daher 

 unsere vier Gerade eine allgemeine Lage, so geben die acht 

 Gleichungen eine einzige Integralcurve, sodass die Integra- 

 tion geleistet ist. 



Aus meinen in 1874 gegebenen allgemeinen Integrations- 

 theorien folgt, wie schon gesagt, als Corollar, dass eine 

 Gleichung m^^"" Ordnung welche die allgemeine lineare Gruppe 



