Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 373 



erhalten würde. Dann ist es möglich, wie ich in der ersten 

 Nummer dieses Paragraphen zeigen werde, die Integration 

 von «/" = F auf diejenige einer linearen Gleichung 3. 0. und 

 gewisse Quadraturen zurückzuführen. In der zweiten Nummer 

 beweise ich sodann, dass die besprochenen Quadraturen durch 

 Differentiationen ersetzt werden können, und gebe gleichzeitig 

 den synthetischen Schlüssel zu der entwickelten Theorie. 

 1. In der Gleichung 



dl? " 

 führe ich neue Variabein æy durch die Substitution 



y= Y\,xy\ x= Jr(a?2/) 

 ein. (Im Folgenden bezeichnen x und æ verschiedene Grös- 

 sen, ebenfalls y und y, D und B u. s. w.) Setze ich dann 

 zur Abkürzung, welche auch die Grösse TJ sein mag, immer 



SO erhält unsere Differentialgleichung in den Variabele æy 

 die Form 



wo 



^ X, y,, — y, X,, ^ ^ x^ y,, — y^ x ,, ^^ x,y/-y,x / 

 x' y, — y' X, ' " X' y, - y' x, ' x' y, — y' x, 



x' y" — y' X" x,y" — y,x" ^ _ x' y/ — y^ x/ 

 X' y, — y X, ' X' y, — y' x/ x' y, — y' x, • 



Soll daher unsere vorgelegte Gleichung y = F auf die 

 Form y" ■= reductibel sein, wie wir vorausgesetzt haben, so 

 muss sie unter allen Umständen die Form 



