376 Sophus Lie. 



Fall ist. Ein jedes unter den erhaltenen linearen simultanen 

 Systemen- ist offenbar aequivalent mit einer gewöhnlichen 

 linearen Gleichung 3. 0. Und überdies reducirt sich nach 

 bekannten Theorien die Bestimmung derjenigen Grössen 

 w, V, w die sowohl (5) wie (6) erfüllen, auf die Integration 

 einer einzigen gewöhnlichen linearen Differentialgleichung 

 3. 0., die eine arbiträre Constante enthält (Sieh Note I): 



d^^ ,, ct^Ti. T,^ dX _.- ^ 



Denken wir uns diese lineare Gleichung 3. 0. integrirt, 

 so erhalten wir Werthé der Grössen c C mit zwei arbiträren 

 Constanten. 



Es ist nun leicht zu verificiren, dass alle Entwickelungen 

 dieser Nummer ungeändert blieben, wenn wir statt der vier 

 Grössen B, (7, h, c die vier folgenden 



B = ^' ^" ~ y' ^" —2^ G ^ '^''y' ' ~'y >^'' + ^ 

 i'x'y, — y'x, x' 1 x'y,— y'x, x 



X, y" — y, x" „ x' x' y/ — y' x/ x' 



x' y, — y' x, x ' x' y, — y' x, x 



eingeführt hätten. Zur Bestimmung der Grössen C-^ und c^ 

 erhielten wir identisch dieselben Gleichungen (3,4), die uns 

 zur Bestimmung von C und c gedient haben. Wir können 

 daher nach der Integration der linearen Gleichung 3. 0. (7) 

 auch für C^ und c^ Werthe mit zwei arbiträren Constanten 

 angeben. Nun aber ist 



so dass eine Quadratur uns den Werth von x mit fünf ar- 

 biträren Constanten liefert. 

 Setzt man andererseits 



