Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 377 



B = ^'J» — f^n _ 2 ^' O = ^' ^' ~ ^' ^ ' + ^-^ 

 ^ " X' y, —y' X, y' '^ x' y, — y' x, y 



t, x> y" - y ' x^^ ,, y x' y/ - y^ x/ y' 



x' y, — y' x, y ' ^ x' y, — y' x, y 



so erkennt man, dass auch Cg und c^ den beiden Systemen 

 (3,4) erfüllen, sodass man unter den früheren Voraussetzungen 

 ihre Wertbe mit zwei arbiträren Constanten angeben kann. 

 Daher liefern die Gleichungen 



' ^ = Co — O, ^ = c — c, 



durch eine Quadratur die Bestimmung von y. 



Die Bestimmung der Grössen y und x, und gleichzeitig 

 die Integration der vorlegten Gleichung y" = F ist also hier- 

 mit reducirt auf die Erledigung einer gewöhnlichen linearen 

 Gleichung 3. 0. zusammen mit zwei Quadraturen, Die gefun- 

 denen Werthe von y und x enthalten acht arbiträre Con- 

 stante, die sämmtlich wesentlich sein müssen, indem die 

 allgemeinste Werthe von y und x sich durch zwei particuläre 

 Werthe yo Xq durch die Formeln 



^ L.jo + M.x^ + N.'^'^L.jo + M.Xo + N, ^^ 



mit acht wesentlichen Constanten L, M . . . M.^, N^ ausdrücken. 



2. Die Entwickelungen der vorangehenden Nummer 

 beruhen eigentlich auf die soeben gemachte, an sich evidente 

 Bemerkung, da?s die allgemeinsten Werthe von x y sich durch 

 zwei particuläre Werthe Xq y^ vermöge der Formeln (8) 

 ausdrücken. 



In den Gleichungen 



A'=F^, B+2Ö'=Fr,, b + 2c = F^,a = F 



haben in Folge dessen die vier Differentialausdrücke, A,B + 2 O, 



