378 Sophus Lie. 



b + 2c, a die fundamentale Eigenschaft invariant zu bleiben 

 wenn in ihnen die Grössen x, y durch 



Lj + Mx +■ N L^j + M^x+ N 



ersetzt werden, welche Werthe auch die Constante L, M... 

 M^, N^ haben mögen. Die Ausdrücke A,B + 2G, h + 2c,a 

 sind daher Differentialinvarianten bei der allgemeinen pro- 

 jectivischen Transformation der Grössen x y. 



Es lässt sich andererseits leicht nachweisen, dass eine 

 jede unter den sechs Grössen A, B, C, a, b, c, wie auch ihre 

 Differentialquötienten hinsichtlich æ und 3/ sich bei allen line- 

 aren Transformationen der Form 



(G^) (x)^Ly + Mx + N, (j)^L,j + M^x + N 



als DifFerentialinvarianten verhalten. Um dies zu beweisen 

 suchen wir, indem wir wesentlich wie im ersten Abschnitte p. 

 194 u. f. verfahren, die Definitionsgleichungen aller Funk- 

 tionen von X y x' X, y' y, x" . . . etc., die sich bei der sechs- 

 gliedrigen Gruppe (O^) als Invarianten verhalten. 



Hierzu müssen wir die sechs infinitesimalen Transforma- 

 tionen unserer Gruppe, nämlich 



- dl ^ dl ^ ^ dl 

 dx' df ^dx' ^dx' '^df ^dy 



betrachten. Bei der inf. Transformation j- (oder -^ 1 erhal- 

 ten die Grössen x' x, y' y, . . x('> etc. keine Incremente. Daher 

 schliessen wir sogleich, dass die gesuchten Invarianten die 

 Gleichungen 



dx ' dj 



erfüllen, und somit x und y nur als Differentialquotienten 

 enthalten. 



