Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 379 



Bei der inf. Transformation x ,- erhält x das Increment 



dx 



xôt,j das Increment Null, x' das Increment^) x' ôt] x, das 

 Increment x' ôt, x" das Increment x" ôt . . . überhaupt x|^') das 

 Increment x|^')(5^; die entsprechenden Incremente der Grössen 

 3/W sind sämratlich Null. Also erfüllen die gesuchten Inva- 

 rianten die Gleichung 



df ,df df „ df , df df 



= X -f + x' /-i + X, /- + x" ^-^j, + x/ /-, + x„ :^ - + . . 



dx dx' dx, dx" dx, dx„ 



Eine analoge Behandlung der infinitesimalen Transfor- 

 mationen y -^~ liefert die Gleichung 



df ,df df „ df , df df 



die von unseren Invarianten erfüllt w^erden muss. Dement- 



sprechend liefern auch die inf. Transformationen j-~, x~ 



zwei einfache Definitionsgleichungen. 



Alle DifFerentialinvarianten der Gruppe {G-^) sind somit 

 bestimmt durch die sechs Gleichungen 





df 



dx ^'^ ^^ dæ'^ ^' '^''^ dy 



|'=0,^x«/^=0,2y«/4=0. 



dj ' ^ rfj[') ' ''^ dx^^^ 



Die Form dieser Relationen zeigt nun, dass die Grössen 

 A, B, C,a,b,c Invarianten von G-^ sind. Dass auch ihre 



') Aus der Gleichung 



dx = x' dx -^ X, di/ 



folgt nämlich 



6 dx= Sx' dx -\- ÔX, dy^dbx^dx St 



und 



», dx . . dx ^ 

 6x' =- -^ dt, dx, =*— diu. s. w. 

 dx dy 



