380 Sophus Lie. 



Differentialquotienten hinsichtlich æ und y Invarianten sind 

 beruht darauf dass die Gleichung 



I(xyx'y,...)-i[(x)(y)(x)'...] = (J} 

 die Relation 



^= d(i) 

 dæ d[œ) 



nach sich zieht. 



Es giebt eine und nur eine invariante Gleichung erster 



Ordnung nämlich 



X' 7, — X, y' = 0. 



Da die vier Differentialquotienten erster Ordnung und 

 die sechs zweiter Ordnung durch vier unabhängige Relationen 

 verknüpft sind, die ein vollständiges System bilden, so giebt 

 es sechs unabhängige absolute Invarianten zweiter Ordnung. 

 Da die Zahl der DifFerentialquotienten dritter Ordnung gleich 

 acht ist, so giebt es acht wesentliche Invarianten dritter 

 Ordnung. Also schliessen wir, dass die zwölf früher bespro- 

 chenen Invarianten 3. 0. nämlich die Differentialquotienten 

 1. 0. von A, B, (7, a, &, c hinsichtlich æ und y mit den Inva- 

 rianten 2. 0. jedenfalls durch vier Relation verknüpft sind. 



In dieser Weise erkannte ich zuerst die Existenz der 

 Relationen (2). 



Die Reductibilität der simultanen Systeme (3) (4) auf 

 eine gewöhnliche lineare Gleichung 3. 0. ist ein sehr specieller 

 Fall einer allgemeinen Theorie, auf die ich indess bei dieser 

 Gelegenheit nicht eingehen wçrde. Es muss hier genügen, 

 dass ich die Reduction wirklich durchgeführt habe. 



Ersetze ich nun in der Gruppe 



(^i) Py q, ^P, JP, X2, jq 



und in ihren Invarianten A, B, C, a, b, c die Grössen x und y 



ly 

 durch und-, so erhalte ich wiederum eine sechsgliedrige 



Gruppe nämlich 



