Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 381 



x2/) + xyg, xjp + y% q, xq, jq, xp (G^) 



mit ihren Invarianten 



-^1) -^1» ^i> *i» ^i> ^1) 

 wo ^1 Cj &i Ci, die in der vorangehenden Nummer angege- 

 benen Werthe haben, während Ä^ = Ä und a^ = a sind. 



Und da die Gleichungen (2) identisch bestehen, welche 

 Funktionen von cc und ?/ auch die Grössen x y sein mögen, 

 so erfüllen c^ und 6\ die simultanen Systeme (ö) (4) und 

 werden daher bestimmt durch Integration der linearen Htilfs- 

 gleichung 3. 0. (7). 



In ganz aehnlicher Weise können wir in der Gruppe 



(öl) und in ihren Invarianten ÄjB,G, a,b,c die Grössen x y 



x 1 

 durch - und ersetzen. Hierdurch erhalten wir die sechs- 



y y 



gliedrige Gruppen 



(öfg) p, xp, jp, yq, x^p + xy^, xyp + j^q 



mit ihren sechs Invarianten zweiter Ordnung A^, 73^, Og, 

 a^,h^,c^j welche die früher angegebenen Werthe besitzen. 

 Dabei ist klar, dass C^ und c^ die Gleichungen (3) (4) er- 

 füllen und dass somit ihre Werthe mit zwei arbiträren Con- 

 stanten nach der Integration der linearen Gleichung 3. 0. 

 hingeschrieben werden können. 



Also finden wir, ganz wie in der ersten Nummer ange- 

 geben wurde, die Werthe der vier Grössen 



x; x^ y^ y, 

 X X y y 



als Funktionen von a? und y mit sechs Parametern. Es ist 

 nun leicht vorauszusehen, dass die in der ersten Nummer zur 

 Berechnung von x y ausgeführten Quadraturen erspart wer- 

 den können. Man führe in der That auf die Gruppen {O^) 

 und ihre sechs Invarianten irgend eine Substitution der Form 

 (8) aus. Hierdurch erhält man eine neue Gruppe G^ mjt 



