382 Sophus Lie. 



ihren Invarianten Ä^, B^, C^, «3, b^, c^, deren Werthe als Funk- 

 tionen von æ und y mit zwei neuen arbiträren Constanten 

 augegeben werden können. Durch Vereinigung von den hier- 

 mit gefundenen Relationen mit den früheren gelingt es (im 

 Allgemeinen) die Grössen x und y als Funktionen von æ und y 

 mit acht arbiträren Constanten algebraisch zu berechnen. 



Hier nur noch die folgende Bemerkung, deren Richtigkeit 

 sich leicht erkennen lässt Die Gruppe G-^ besteht, geome- 

 trisch aufgefasst, aus allen projectivischen Transformationen 

 der Cartesischen Ebene xy, welche die unendlich entfernte 

 Gerade invariant lassen. Dementsprechend lässt die Gruppe 

 G<^ die Gerade x = 0, die Gruppe G^ die Gerade y = und 

 endlich die Gruppe (r^ eine gewisse Gerade g invariant. Die 

 obenstehende Bestimmung ohne Quadraturen von x und y 

 wird nur in dem speciellen Falle illusorisch, wenn die Gerade 

 g entweder durch Origo x = 0, y = geht oder mit einer unter 

 den Coordationen x = 0, y = parallel ist, d. h., wenn unter 

 den vier Geraden, welche die vier Gruppen G^ Q^G^G^ de- 

 finiren, drei durch denselben Punkt gehen. 



§2. 



üeber den Inhalt dieser Abhandlung. 



3. Ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zwischen 

 zwei Variabein 



/(^«/y...y™)) = oi) (m>i) 



vorgelegt, so ist es immer möglich durch ausführbare Opera- 



^) Wir setzen im Texte voraus dass m grösser als 1 ist. Dies beruht dar- 

 auf^ dass die Gruppe einer Differentialgleichung 1. 0. von einer arbi- 

 trären Function abhängt, während die Grui^pe, venn w > 1, höchstens 

 arbiträre Constante enthält. Gesell, d. W. Christiania 1883, Gott. Nachr. 

 J874. Die Bestimmung einer infinitesimalen Transformation einer 

 Gleichung 1. 0. ist nach mir aequivalent mit der Auffindung eines In- 



- tegrabilitätsfaktors. Gesell, d. W. Chr.a 1874. 



