Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 383 



tionen, d. h. durch Differentiation und Elimination zu ent- 

 scheiden, ob sie eine continuirliche Grujjpe von Transfor- 

 mationen gestattet, anders ausgesprochen, ob sie gewisse in- 

 finitesimale Transformationen etwa 



zugiebt. Die hierzu erforderlichen, häufig sehr weitläufigen 

 Rechnungen, die im nächsten Paragraphen schematisch ange- 

 geben werden, geben gleichzeitig die Zahl der Parameter 

 der betreffenden Gruppe, d. h. die Anzahl der unabhängigen 

 inf. Transformationen der Gruppe. Man bestimmt hiernach 

 wie viele Curvenschaareu q){y œ) = a bei der Gruppe invariant 

 bleiben, anders ausgesprochen, wie viele Differentialgleich- 

 ungen erster Ordnung die Gruppe gestatten, und entscheidet 

 gleichzeitig, ebenfalls durch ausführbare Rechnungen, auf 

 welche unter den früher (Sieh z B. Math. Ann. Bd. XVI) 

 aufgestellten canonischen Formen die Gruppe reductibel ist. 

 Die endliche Bestimmung.der Gruppe, die in mehreren Weisen 

 geleistet werden kann, verlangt immer gewisse Integrations- 

 operationen, die indess im Allgemeinen entweder auf Quadra- 

 turen oder jedenfalls auf die Erledigung von linearen Gleich- 

 ungen zweiter Ordnung hinauskommen. Es giebt nur drei 

 Gruppen, die nicht in dieser Weise bestimmt werden können; 

 sie werden indess immer durch die Integration einer gewöhn- 

 lichen linearen Gleichung zwischen zwei Variabein gefunden. 

 Und da die Ordnung der Hülfsgieichung jedenfalls nicht 

 grösser als m + 1 ist, so giebt meine Theorie immer eine 

 Integrationsvereinfachung, dabei vorausgesetzt, dass F = 

 eine continuirliche Gruppe gestattet. 



Wenn eine vorgelegte Gleichung F = eine unbekannte 

 Gruppe mit mehreren Parametern zugiebt, so kann der Fall 

 eintreten, dass man gewisse andere Gleichungen <p = 0, ^ = 

 kennt, welche eine Untergruppe der besprochenen Gruppe 



