386 Sophus Lie. 



besteht, d. h. dass sie für alle Werthe dei Grössen y' y" ... 2/(°>-i) 

 stattfindet. In dieser Weise erhalten wir zur Bestimmung 

 von ^ und rj eine Eeihe linearer partieller Differentialgleich- 

 ungen 



(9) o.Ag^5„.a^H.i>,| + :E,g + ..., 



deren Coefficienten ÄiBi. . . nur von æ und y abhängen. Die 

 allgemeine Theorie der Differentialgleichungen lehrt in jedem 

 einzelnen Falle zu entscheiden, ob unsere Gleichungen von 

 zwei zusammenhörenden Funktionen ^ rj befriedigt werden. 

 Sind ^i 7^1 ein System Lösungen derselben, ^g V2 ^^^ zwei- 

 tes System, so liefern die Ausdrücke 



mit den beiden arbiträren Constanten c-^c^ ein allgemeineres 

 System Lösungen. Die Gruppe der vorgelegten Gleichung 

 y{m) =. F enthält eine'gewisse und zwar begrenzte^) Anzahl etwa 

 r Parameter und genau ebensoviele unabhängige infinitesimale 

 Transformationen 



durch deren Combination die allgemeinste in der Gruppe 

 enthaltene infinitesimale Transformation der Form 



hervorgeht. 



Die allgemeinsten Lösungen ê v der Gleichungen (9) 

 enthalten keine arbiträre Funktionen, sondern nur gewisse 

 arbiträre Constanten. Daher giebt es immer eine solche 



*) Ich setze wiederum hier als bekannt voraus, dass die Gruppe einer 

 Gleichung y(m) = j? deren Ordnungszahl m gleich oder 'grösser als 2 ist, 

 nie arbiträre Funktionen, sondern höchstens arbiträre Constanten ent- 

 hält. Dies folgt aus meinen Untersuchungen über unendliche Gruppen 

 Gesell, d. W. Christiania 1883. 



