388 Sophus Lie. 



ungen algebraisch unabhängig sind. Diese a^ Relationen 

 umfassen insbesondere diejenigen /S^ Gleichungen, die aus 

 den «1 Gleichungen 1. 0. durch einmalige Differentiation 

 hervorgehen. Hierzu kommen unter Umständen y^ weitere 

 Gleichungen zweiter Ordnung 



p) Es enthält «p-i Gleichungen (/j—l)*^"' Ordnung, die 

 von einander und von den «q + ar^ + . . + ap-i schon bespro- 

 chenen Relationen unabhängig sind. Diese ap^x Gleichungen 

 umfassen die /3p_i durch einmalige Differentiation aus den 

 ap-i Gleichungen (p — 2)*" Ordnung hervorgehenden Rela- 

 tionen. Hierzu kommen unter Umständen ^^p-i weitere Gleich- 

 ungen (p — 1)*" Ordnung. Wir können ausdrücklich feststel- 

 len, dass die Zahl «p-i höchstens gleich 2p — 1 ist, sodass 

 die 2p Differentialquotienten iß—Vf^^ Ordnung nicht algebraisch 

 bestimmbar sind. 



p + 1) Es enthält 2p + 2 unabhängige Gleichungen, welche 

 die Differentialquotien p*^*^ Ordnung bestimmen. Unter ihnen 

 finden sich insbesondere diejenigen /?p Gleichungen p*«"" Ord- 

 nung, die durch einmalige Differentiation aus den ap_i Gleich- 

 ungen (p — iy«'^ Ordnung hervorgehen. Es ist dabei unmöglich 

 aus ihnen durch Differentiation neue Gleichungen herzuleiten, 

 deren Ordnung kleiner als (p + 1) ist. 



Ein Gleichungssystem, das alle diese Eigenschaften be- 

 sitzt, ist unbeschränkt integrabel. Ihr allgemeinstes System 

 Lösungen B,r) enthält: 



(2 -«o) + (4 — «i) + (6 — «2) + • • • + (2p-«P-i) = r 

 oder 



p(p + 1) — «0 — «1 — • • • — «p-i =• »• 



arbiträre Constanten, was darauf hinauskommt, dass die be- 

 treffende Gruppe r unabhängige inf. Transformationen und 

 also gleichzeitig r Parameter enthält. 



