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Gruppe werden daher selbsverständlicherweise auch vou Bitj^ 

 erfüllt. Hierbei können indess zwei wesentlich verschiedene 

 Hauptfälle eintreten. Es ist denkbar, dass man Bf und B'f 

 derart wählen kann, dass B^f eine ganz beliebige infinitesi- 

 male Transformation unserer Gruppe darstellt. Es ist aber 

 auch möglich, dass die Transformationen B^f, wie auch die 

 Transformationen Bf und B'f gewählt werden, immer einer 

 bestimmten Untergruppe angehören^). Bildet man daher, wie 

 immer möglich, die charakteristischen Definitionsgleichungen 

 (J-i) der Transformationen B^, so ist es allerdings unter 

 allen Umständen sicher, dass diese Gleichungen {Ä^) die 

 Relationen (A) umfassen. Es ist aber keineswegs sicher, 

 dass diese beiden Gleichungssysteme identisch sind, indem 

 es denkbar ist, dass unser System (Aj^) ausser der Gleich- 

 ungen (A) noch weitere Kelationen enthält. Es ist insbeson- 

 dere denkbar, dass die Gleichungen (A^) die Form ^^ = 0, 

 7/1 = haben, indem alle Ausdrücke (Bi B^) identisch verschwin- 

 den können. 



Ist das Systeme (A^) verschieden von dem Systeme (A), 

 so kann man in entsprechender Weise weiter gehen. Man kann 

 zwei infinitesimale Transformationen BJ'elwa. B\f und B'\f 

 wählen, darnach den Ausdrück 



(B/B/')=BJ 



bilden, und endlich dasjenige Gleichungssystem (A^) aufstel- 

 len, das alle inf. Transformationen B^f definirt. Hierbei 

 können wiederum zwei Fälle eintreten, jenachdem die Sy- 

 steme (A^) und (A^) identisch oder verschieden sind. 



Ist es möglich die r inf. Transformationen B^ B^ ... Br, . . .Br derart zu 

 wählen, dass für alle möglichen Werthe von i und k Relationen der 

 Form 



{Bi Jk) = Cikl J5, + Cm ^2 + • • • + «ikr' -Br' 



bestehen, so ist die Gruppe jedenfalls zusammengesetzt (composé). Dabei 

 bilden B, B^ . . . Br eine invariante Untergruppe. 



