392 Sophus Lie. 



über dessen Form wir sogleich einige beachtenswerthe Be- 

 merkungen machen können, obgleich wir uns erst im Schlüsse 

 dieses Paragraphen mit der Aufstellung dieser Relationen 

 beschäftigen werden. 

 Sei 



X = X{æ y), J = Y{a; y) 



ein particulares System Lösungen von jQi = 0, und x^ y^ das 

 allgemeinste System Lösungen mit einer gewissen Anzahl 

 arbiträrer Constanten ^) a, b, c. Alsdann bestehen Relationen 

 der Form 



|Xi-if(xya6c...) 

 lyi=N (xyaftc...), 



die eine continuirliche Gruppe von Transformationen bestimmen. 

 Die Richtigkeit dieser Behauptung beruht darauf, dass die 

 Form des Gleichungssystems (A) oder was auf dasselbe hinaus- 

 kommt, dass die Form, der canonischen Gruppe B/ bei dem, 

 Uebergange von den Variabein x y zu den Variabein x ^ y , 

 ungeändert bleibt, sodass, wie wir für das Folgende bemerken, 

 für jedes i Relationen der Form 



B,/= Ï, (xy) I +,, (*y) I - 2 ., (^(x, y,) |/+,,tx,y,)|j 



mit Constanten Coefficienten Ck bestehen. In gewissen Fällen 

 ist die Gruppe (G) identisch mit der Gruppe B/. In den 

 meisten Fällen sind jedoch diese beiden Gruppen verschie- 

 den, indem die Transformationen B/ eine in (G) enthaltene 

 Untergruppe bestimmen. Um dies zu beweisen ist es zweck- 

 mässig die infinitesimalen Transformationen der Gruppe 

 (G), die 



') Ansnahmsweise enthalten, werden wir sehen, die Grössen Xj yi nicht 

 allein arbiträre Constante, sondern zugleich arbiträre Funktionen. Wir 

 sehen im Texte vorläufig von derartigen Fällen weg. 



