394 Sophus Lie. 



Unser Verlangen zu der infinitesimalen Transformation D/ 

 ist daher erfüllt dann und nur dann, wenn für jedes i Rela- 

 tionen der Form 



(Bi D) - Ci, Bl/ + Ci2 B2/ + . . . + Cir Brf 



besteben. 



Wir fassen die obenstehenden Entwickelungen dieses 

 Paragraphen im folgenden Satze zusammen: 



Satø. Alle endlichen Transformationen 



X, = Jf (xy a& . . .), yi = iV(x y «6 . . .) 

 welche die Form des Gleichung ssystems (A) ungeändert lassen, 

 bilden eine continuirliche Gruppe, deren infinitesimale Trans- 

 formationen Df dadurch deßnirt sind, dass sie r Relationen 

 der Form 



(BiD) = CiiBi/H-... + CirBr/ 



mit Constanten Coefßcienten Cik erfüllen. Daher gehören alle 

 Bi/ der Gruppe D/ an. 



'8. Die Gruppe D/ bestimmt nun eine Reihe Differen- 

 tialinvarianten, die in den folgenden Untersuchungen eine 

 fundamentale Rolle spielen. Um sie in einfacher Weise defi- 

 niren zu können, setzen wir wie früher zur Abkürzung, 

 welche auch die Grösse U sein mag, immer 



du jj^du dw æu ^ 



dx '^ 'dj ' " äx2 ^ ' dxdy ' 



Dieses vorausgesetzt sagen wir, dass eine Funktion von x y 

 x' x, x" x/ . . . y'y, y" . . . eine Differentialinvariante der Grnppe 

 Df ist, wenn sie von allen endlichen Transformationen dieser 

 Gruppe in ungeänderter Form reproducirt wird. Da alle end- 

 lichen Transformationen unserer Gruppe durch uendlichmalige 

 Wiederholung einer infinitesimalen Transformation Df erzeugt 

 sind, so reducirt sich unsere Forderung darauf, dass unsere 

 Funktion von allen infinitesimalen Transformationen D/ repro- 

 ducirt werden soll. Um diese letzte Forderung analytisch 



