Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 305 



auszudrücken, ist es nothwendig die Incremente dxi^ dyi^ 

 der Grössen Xi"" ji^ bei der infinitesimalen Transformation 



D/=^J^+ F^, oder öx^^öt, 6j=Yôt 



zu berechnen. Es ist 



Ô (dx — x' dæ— X, dy) = = dôx — ôx^ . daa — '■ ôx, dy 

 woraus 



ôx'^~= JC'ôt, ôx, = JT, ôt, ôx" = JT" <y< . . . 



^r-^- F<î«; ày, = Tôt, ôy" = Y" ôt 



und überhaupt / 



ôXi^=jr^ôt, ôyi^= T^ôt 



Soll daher eine Funktion / von xy x'x, . . . y'y, . . . eine 

 DifFerentialinvariante der Gruppe D/ sein, so muss sie alle 

 Gleichungen der Form 



^f+T%+2X,^ 4^ + 2 Y,^ 4^ = = D'/ 

 dx dy dxi^ dy^ •' 



erfüllen. Giebt es nun s unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen D/ etwa Dj Dg ... so giebt es auch 5 Aus- 

 drücke D'/, die sich als infinitesimale Transformationen der 

 Grössen x y x' . . . y'y, . . . auffassen lassen. Dabei ist klar, 

 dass die infinitesimalen Transformationen D'/ eine Gruppe 

 bilden, und dass sie somit paarweise Relationen der Form 



' (D,' DkO = :Sci,j Dj'/ 



erfüllen, wobei die Constanten caj dieselben Werthe wie in 

 den Relationen 



(DiDk) = ^CikjD;/ 

 besitzen. 



Hieraus folgt nun, dass die s Gleichungen D'/=0 ein 

 vollständiges System, bestimmen, dessen Lösungen die gesuch- 



