396 Sophus Lie. 



ten Differentialinvarianten sind. Unter diesen Invarianten 

 finden sich insbesondere immer die beiden Grössen a; und y. 

 Ist die Grösse i(xjx'y'...) eine Invariante, so sind eben- 

 falls die Differentialquotienten von I hinsichtlieh æ oder y 

 Invarianten. Aus der Gleichung 



I(xy x'y'...)=-I(XiyiXi'yi'. . .) 

 folgt nämlich 



dljxy . . . ) ^ dljx^ji . . .) 

 da! dœ ' 



womit die Richtigkeit meiner Behauptung erwiesen ist. 

 Soll eine Gleichung der Form 



<?)(a;2/xyx'...y'...) = 



(oder ein System von derartigen Gleichungen) die Gruppe 

 D'/ gestatten, so müssen die s Relationen 



Di'(p = 0, D2V-O... 



bestehen. Dabei sind indess zwei Fälle möglich jenachdem 

 Ç? = eine singulare Lösung jener Gleichungen ist oder nicht 

 ist. Im ersten Fall lässt sich q> definiren als eine Determi- 

 nante oder als der gemeinsame Faktor von gewissen Deter- 

 minanten, welche die Grössen ccy nicht enthalten. Im zweiten 

 Falle lässt sich ç? = immer als eine Relation zwischen den 

 obenbesprochenen Differentialinvarianten {co and y darunter 

 miteinbegriffen) darstellen. 



9. Er ist nun klar, dass die im Anfange dieses Para- 

 graphen besprochenen Gleichungen A (a; 1/ x y x\ . .) = die 

 Gruppe 



Xi = üf (xy «6 . . .) y 1 = iV (xy a& . . .) 



gestatten; sie bleiben nämlich fortwährend erfüllt, wenn wir 

 in ihnen x y durch x^ y^ ersetzen, welche Werthe auch die 

 Constanten ab . . . haben mögen. Dabei lässt sich einsehen, 

 dass es nicht denkbar ist, dass eine oder mehrere unter den 

 Gleichungen A = singulare Lösungen von D«'/ = sind. 



