Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 397 



Wäre nämlich dies der Fall, so enthielten die betreffenden Glei- 

 chungen die Grössen æ y nur implicite und zwar in den Diffe- 

 rentialquotienten; sie blieben uugeändert, wenn wir die unabhän- 

 gigen Variabelen æ y durch zwei andere ganz beliebige Grössen 

 a?i 3/1 ersetzten, indem die Form der Grössen Dx/ durch den 

 Uebergang von æy zu x-^y^ ungeändert blieb. Die Existenz 

 einer bei dem Uebergang von æy zu x^y^ invariante Relation 

 zwischen x y und æy ist jedoch an sich absurd. Daher kön- 

 nen keine unter den Gleichungen ßj = singulare Lösungen 

 des vollständigen Systems Z>i'/=0 sein. Dies giebt uns nun 

 den folgenden fundamentalen Satz: 

 Diejenigen Gleichungen 



D.i [æy xy x' y' . . .) = 



welche x und y derart als Funktionen von x und y heêtim- 

 meny dass die Definitions- Gleichung en (Ä) die canonische Form 

 (A) annehmen, lassen sich immer auf eine solche Form bringen, 

 dass sie eine Anzahl Relationen D.i {I-^I^ . . . .æy) = zwischen 

 den Differentialinvarianten der Gruppe Xj = M, Ji •= N dar- 

 stellen. 



Durch Differentiation der Gleichungen A' = bildet man 

 beliebig viele neue Relationen zwischen den Invarianten der 

 Gruppe (G). Durch Combination von diesen Relationen muss 

 es, behaupte ich, gelingen jede Invariante der Gruppe (G) 

 als eine bekannte Funktion von æ und y darzustellen. Ist 

 nämlich U eine ganz beliebige Funktion von xy x' y' . . . so 

 lässt sich dieselbe immer durch Benutzung der Gleichungen 

 ßi = definiren als Function von æ und y, und zwar als die 

 Lösung von gewissen partiellen Differentialgleichungen 



Ist nun U insbesondere eine Invariante, so soll die Integra- 

 tion des Gleichungs-Systems Wt = weder arbiträre Con- 



