398 Sophus Lie. 



staute noch arbiträre Funktionen einführen. Und also geben 

 diese Gleichungen die endliche Bestimmung von U als be- 

 kannte Funktion von x und y. Dies giebt uns den folgenden 

 wichtigen Satz. 



Die Gleichungen £1\ = bestimmen jede Invariante der 

 Gruppe G als eine bekannte Funktion von æ und y. Daher sind 

 diese Relationen reductibel auf die Form 



1k (xy x' y' . . .) = Bh (æy), 



wo die Ik Invarianten, die Bh gegebene Funktionen von æ und 

 y bezeichnen. 



10. Für alle Gleichungssysteme der soeben gefundenen 

 Form Ih = Bk lässt sich eine merkwürdige Integrationstheorie 

 entwickeln, die ich in einer späteren Arbeit ausführlich be- 

 gründen werde. Hier begnüge ich mich mit den folgenden 

 Andeutungen, die ich im Laufe dieser Arbeit an einer Reihe 

 Beispiele anwenden und ausführen werde. 



Ich nehme eine in der Gruppe G enthaltene Untergruppe 

 G' mit der gröstmöglichen Anzahl Parameter. Nach meinen 

 Untersuchungen über Transformationsgruppen einer Ebene 

 hat G im Allgemeinen nur ein Parameter mehr als die Unter- 

 gruppe. Wenn jedoch die Gruppe G mit der allgemeinen 

 projectivischen Gruppe der Ebene gleichzusammengesetzt ist 

 und also acht Parameter enthält, so hat die zugehörige Unter- 

 gruppe nur sechs Parameter. 



Hat die Untergruppe keine Invariante (m — 1)*^'' Ord- 

 nung, während sie Invarianten m*" Ordnung besitzt, so giebt 

 es unter ihnen im Allgemeinen nur eine {I') [und höchstens 

 zwei {I' i")l welche nicht gleichzeitig Invarianten der Gruppe 

 G sind. Es ist andererseits klar, dass man die Invarianten 

 (m + 1)*^'^ Ordnung [oder höchstens (m + 2)*«' Ordnung] der 

 Untergruppe derart wählen kann, dass sie gleichzeitig Inva- 

 rianten der Gruppe G sind. Hieraus schliessen wir, dass die 

 Differentialquotienten von /' (und i") hinsichtlich æ oder y 



