Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 401 



^ «_^!L = ^ =^ = _^_ = 

 dx^ dx dy dj^ dx^ ~ dxdy" 



dx^ ~ dj^ dx^ ' ' ' dj^ 



In diesem Falle haben daher die früher (§ 3, n. 6) bespro- 

 chenen charakteristischen Zahlen die folgenden Werthe: 



«0 = 1 ; ^1 = 2, n = 1 ; /^2 = 5, ;^3 = 0; ^3 = 7, ;/3 = 1 

 r = 3, p = 3. 



Soll andererseits eine gewisse Gruppe auf die Form q yq y^q 

 reductibel sein, so ist es jedenfalls nothwendig, dass die cha- 

 rakteristischen Zahlen von den betreiFenden Definitionsglei- 

 chungen die soeben geschriebenen Werthe haben. Diese 

 Zahlen bleiben ja nämlich ungeändert bei der Einführung von 

 neuen Variabein statt æ und y. 



b) Die Gruppe JT^q . . . JTrq lässt sich definiren durch 

 drei Gleichungen der Form 



Ist r = 1, so haben die charakteristischen Zahlen die Werthe 



«0-1; /?i=2, ri=2, r = p = l. 

 Ist dagegen r>\, so haben diese Zahlen die Werthe: 



«0 = 1; ^1 =2, ri = i; ^2 = 5... 



/3r = 2r + 1, ;^r = 1 ; r= p. 



c) Endlich die Gruppe ^^q , . . JTi—iqyq lässt sich 

 definiren durch vier Gleichungen der Form 



r— 1 



^ "' dxdj ^' dy^ ' ^' dx-~^ ^"' ^J^^^yj dj V 



Ist dabei r = 2, so haben die charakteristischen Zahlen die 

 Werthe 



Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B. *''-' 



