Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 405 



Hieraus geht nun zunächst hervor, dass jede Gleichung 

 der Form 



dB f^_^\_ 2^4. s ß _A 



dy \dx dy / dæ ^ 



durch Einführung als neues cc von einer Grösse œ-^, welche 

 die Relation 



dy dæ 



erfüllt, die specielle Form 



erhält. Wir schliessen ferner, dass jede Gleichung der Form 

 {v) hei dem Uehergange von den Variabein æy zu beliebigen 

 neuen Variabein ihre Form behält, indem nur die Coefßcienten 

 r, a, ß neue Werthe erhalten, 



14. Die erhaltenen Resultaten geben uns fundamentale 

 Merkmale, die uns bald nützlich sein werden. Sind nämlich 

 die charakteristischen Definitionsgleichungen (Ä) einer Gruppe 

 vorgelegt, so erkennt man leicht, wie viele Gleichungen der 

 beiden invarianten Formen 



^^J^„g,^,.0 (X) 



dy \dæ dy/ dæ t \ y 



bei Combination der Relationen (A) hergeleitet werden können. 



Es ist dabei klar, dass entweder keine oder auch nur 

 eine Gleichung der Form (X) sich finden lässt. Dagegen kann 

 die Anzahl der Relationen von der Form (v) gleich Null, Ein, 

 Zwei oder Unendlich sein. 



Es lässt sich zeigen, dass jede Relation der Form (v) 

 nur aussagt, dass die gesuchte Gruppe eine gewisse Differen- 

 tialgleichung erster Ordnung nämlich 



