406 Sophus Lie. 



dy dæ 



invariant lässt; anders ausgesprochen, dass die Anzahl von 

 den Relationen der Form (v) mit der Anzahl von den bei der 

 Gruppe invarianten Curvenschaaren f{x y) = Const identisch 

 ist. Bei dem Beweise dieses wichtigen Satzes beschränken 

 wir uns zunächst auf den einfachen Fal], dass sich unter den 

 Gleichungen {Ä) nur eine Gleichung erster Ordnung und zwar 

 eine von der Form (r) findet. 



Wir bringen diese Gleichung zunächst durch Einführung 

 von zweckmässigen Variabein auf die Form 



Seien B,r} ein System Lösungen von allen Gleichungen 

 {Ä) und X Y ein zweites derartiges System. Dann sind 

 die Grössen 



^dX dX dB ^àè 



^ ~ dec dy dx dy^ 



^dY dY drf ^ ydt] 



^ dæ dy dæ dy 



nach meinem bekannten Satze ein drittes System Lösungen. 

 Dies giebt die Relation 



d^X d^X d^B, ^^B ^dmX dY\ dX/dBdjA 



dxdy dy^ dæ dy dy"^ dy\dæ dy j dyxdæ dyj 



IpdX dX da _ y d$\ Içd Y ^_ x^^ y^L a 

 \ dæ dy dæ dy] \ dæ dy dæ dyl 



oder die aequivalente 



dy \dæ dy / dy \dæ dyJ \dæ dy/ \ f 



oder endlich 



